П. Г. Кузнецов и тензорный анализ Г. Крона

Андрей Евгеньевич Петров

заместитель заведующего кафедрой АПД НИТУ МИСиС,

профессор кафедры устойчивого инновационного развития Университета «Дубна»,

доктор технических наук, академик РАЕН

Различие живых систем и неживых систем.

Летом 1999 года автору предложили написать основы экономической программы для потенциального руководителя. Целью программы было задано сохранение нации, с последующим увеличением населения. Для этого надо обеспечить всем жителям прожиточный минимум. Людям репродуктивного возраста надо было обеспечить более чем двойной прожиточный минимум, чтобы они могли вырастить своих детей.

Прожиточный минимум в денежном или в энергетическом выражении существенно отличается для жителей севера и юга. Это необходимо учитывать при разработке программы развития различных регионов. Сравнивать прогнозные показатели и темпы роста надо со средним показателем для данного региона, а не по стране в целом.

В марте 1968 года П.Г. Кузнецов, выступал в МИФИ на семинаре кафедры кибернетики, организовать который заведующему кафедрой профессору Льву Тимофеевичу Кузину предложил Г.Н. Поваров. Побиск Георгиевич начал выступление с модели мужика. Мужик тратит 2500 ккал в сутки на обеспечение своей жизни, а добыть должен не менее 10000 ккал, чтобы обеспечить также жену и двух детей. КПД (коэффициент полезного действия) мужика составляет более 4. Сегодня в развитых странах в агропромышленном комплексе работают 4-5% населения. Таким образом, современное КПД «мужика» возросло до 20-25. Научное сообщество более 200 лет запрещает рассматривать проекты вечных двигателей с КПД более единицы. Сами ученые при этом работают как машины с КПД более единицы.

В этом, на наш взгляд, состоит отличие живых систем от неживых систем. Неживые системы рассеивают мощность. Живые системы не только рассеивают, но и усиливают мощность, поток энергии. Для этого они, конечно, используют внешний поток энергии, в конечном счете, поток солнечной энергии. Для описания живых систем, в том числе экономических, производственных систем, существует закон усиления мощности, действие которого еще необходимо исследовать.

Примерно в это же время ушел из жизни американский ученый и инженер венгерского происхождения Габриэль Крон, автор тензорного метода расчета и исследования сложных физических и технических систем. Тогда мы не знали о Кроне, но десять лет спустя стали соавторами послесловия к переводу его книги, посвященной тензорному анализу сетей.

В 1963 году П.Г. Кузнецов написал статью о том, что экономика есть крупномасштабная система, поддающаяся управлению. Статью поддержали три академика, но она не была опубликована. Ее размножили, и раздали тем, кого это интересовало. Для системы управления нужны были уровни иерархии с обменом потоками информации между ними. Кузнецов не нашел математики для описания такой сети иерархии. Геллий Николаевич Поваров указал Побиску Георгиевичу Кузнецову на работы Габриэля Крона, где есть сети, матрицы и тензоры. Поваров известен как один из основателей отечественной кибернетики. Он перевел книгу Норберта Винера об управлении в животном и машине (перевод вышел в 1958 г.). Перевод поддержал академик Аксель Иванович Берг. Поговаривали, что это стоило ему инфаркта в 1957 г. Кибернетика в то время была объявлена продажной девкой империализма.

Тензоры ученого и тензоры инженера.

Ученый делает, чтобы знать. Инженер знает, чтобы делать. Ученый ищет новое знание, источник которого есть в самой природе, но мы об этом не знаем, пока не откроем. Тензоры ученого суть измеримые объекты в непрерывном и однородном пространстве. Инженер использует полученное новое знание, соединяя элементы в структуру новых конструкций, искусственных объектов, создавая вещи, которых нет в природе. Для творчества надо рассматривать разные конструкции, разные структуры и выбирать лучшие. Таким образом, для инженера важны законы структуры, законы изменения процессов при изменении структуры.

Существует геометрический или физический объект. Мы знаем о нем, изучаем его по измеряемым компонентам в одной системе координат или в другой системе координат. Если

преобразование между системами координат линейно, то такой объект называется тензор. Линейность преобразования гарантирует, что этот объект реально существует, а не является плодом нашего воображения. Если тензор не ноль в одной системе координат, то никакими преобразованиями координат его нельзя превратить в ноль. И наоборот, ноль останется нулем при любых преобразованиях координат. Таким образом, химеры и миражи не рассматриваем, но все сущее, реально существующее не упускаем. Наверху есть тензор как объект, а внизу его проекции в многочисленные системы координат. Этот подход можно применить для описания систем.

Одна обобщенная система представляется как образ, тензор для всех систем данного типа, которые являются проекциями обобщенной системы в разные системы координат. Если в системе есть один процесс, а структура из ветвей – то в качестве эталона для моделирования удобно использовать электрическую цепь. Крон и его последователи создали целый ряд моделей в виде эквивалентных электрических цепей для разных предметных областей. Вместе с тем сама цепь является «проекцией» абстрактной сети из одномерных ветвей. Если в системе есть два процесса, а структура включает поверхности, двумерные элементы, то эталоном для моделирования будет электрическая машина с двумерными обмотками и электромагнитными волнами. Этому также соответствуют абстрактные сети из двумерных граней и одномерных ветвей. Если много процессов и многомерная структура – то эталоном моделирования будет полиэдральная сеть Крона с электромагнитными, магнитогидродинамическими волнами, биологическими волнами. Таковы требования общей теории систем, в которых процессы протекают в структуре связей элементов.

Сеть, как и сетевая модель предметной области, на нижнем уровне сама есть тензор, а разные структуры соединения ее элементов суть проекции в системы координат, образованные замкнутыми и разомкнутыми путями. Переход от простейшей сети из отдельных элементов к сети из соединенных элементов задает матрица преобразования путей. При таком подходе к описанию систем и структуры связей их элементов возникает вопрос о свойствах пространства, в котором происходят все эти преобразования.

Отличие пространства геометрии и пространства структуры.

Обычное пространство всюду плотно, непрерывно. Его основными свойствами являются однородность и изотропия, когда все точки одинаковы, равноправны и все направления равноправны. Эти свойства пространства позволяют вывести основные законы физики – сохранение импульса, момента импульса и энергии.

Законы сохранения выводятся из уравнений движения механических систем. При этом делается целый ряд допущений, которые имеют характер аксиом. Например, ряд положений из «Механики» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица опирается на опыт, либо вводятся по формуле «оказывается, что…».

* Как показывает опыт, состояние системы полностью определяет задание всех координат и скоростей. На основе опыта принимается принцип наименьшего действия. Система двигается оптимальным образом. За время движения по реальному пути величина действия принимает наименьшее значение.

* По отношению к произвольной системе отсчета пространство неоднородно и не изотропно. (Однако собственные свойства пространства, например, однородность и изотропия, не могут зависеть от систем отсчета, которые вводит наблюдатель.)

* Оказывается, что существует система отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, время – однородным. Эта система называется инерциальной. Опыт показывает, что законы свободного движения и другие механические свойства одинаковы в инерциальных системах отсчета.

* Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа не взаимодействующих точек определенной функции координат. Так вводят потенциальную энергию.

Законы сохранения. Пространство и время обладают свойствами однородности и изотропии. Это позволяет уточнить вид функции Лагранжа. Например, в силу однородности пространства и времени уравнение движения материальной точки не должно зависеть от радиуса вектора, заданного координатами, а также не должно зависеть от времени.

Закон сохранения энергии получается из уравнений движения в предположении однородности времени. Однородность времени означает, что функция Лагранжа замкнутой

системы не зависит явно от времени. Поэтому производная от функции Лагранжа по времени получается как дифференцирование сложной функции, а затем, приводя производную по времени к нулю, получаем, что величина энергии не меняется при движении замкнутой системы.

Аналогично, из преобразования функции Лагранжа для движения замкнутой системы при однородности пространства получаем, что не меняется величина импульса, а при изотропии пространства – не меняется величина момента импульса. Из рассмотренных выше допущений законы сохранения при движении замкнутых механических систем получаются вполне логичным образом. Это верно для однородного, изотропного и непрерывного пространства и времени.

Вращение и перенос в непрерывном пространстве – основа структуры.

Движение любой точки или системы в пространстве и времени можно выразить через поступательную скорость и угловую скорость вращения (теорема Эйлера о произвольном движении твердого тела). Таким образом, пути движения в пространстве могут быть или замкнутые, или разомкнутые. В непрерывном пространстве уже существуют свойства структуры. Вращение и перенос не зависят друг от друга, а дополняют друг друга. Это два различных качества движения. Эти два вида движения описывают открытые и замкнутые системы. Они или взаимодействуют или не взаимодействуют с системами в окружающем пространстве. Движение тел по замкнутым и разомкнутым путям представляет собой потоки энергии.

Вращение и перенос, как два вида движения, есть «базис» возможных движений, по которым можно разложить любое движение. Не существует других видов движений, кроме поступательных и вращательных движений. Каждому из этих видов движения соответствуют свои пути перемещения точки в пространстве. Поступательному движению соответствует разомкнутый путь, а вращательному движению соответствует замкнутый путь. Таким образом, замкнутые и разомкнутые пути не зависят друг от друга, и дополняют друг друга. Это обеспечивает представление всех видов движений в пространстве. В четырехмерном пространстве-времени вращательному движению соответствует спираль.

Пространство-структура

В пространстве существуют не только точки, но и протяженные элементы (линии, грани, объемы, и т.д.). Такие элементы соединяются между собой своими границами. Например, линии, ветви, соединятся границами, точками. Для элементов, соединенных между собой, возникают новые свойства, которые определяются изменением границ элементов. Совокупность элементов составляет свое пространство-структуру, которое не существует вне этих элементов. Координатами в таком пространстве являются пути, проходящие через элементы. Существует только два вида путей – замкнутые и разомкнутые. Между этими видами путей есть разница. При изменении структуры пути изменяются, меняется состав входящих в них элементов, например, ветвей. Для преобразования надо выражать пути в новой структуре, сети, через пути в старой структуре системы.

Оказывается, что замкнутые пути можно выразить через замкнутые и разомкнутые пути, а разомкнутые пути нельзя выразить через замкнутые пути. Этот удивительный факт асимметрии объясняется тем, что замыкание пути охватывает новое измерение пространства. Например, замыкание линии в кольцо охватывает кусок 2-мерной поверхности, а замкнутый 2-путь получается при замыкании граней в 3-мерный объем и т.д. Так преобразование структуры порождает новые измерения пространства.

Отличие пространства тензоров Крона состоит в том, что оно дискретно – существует только вдоль выделенных элементов, составляющих системы. Элементы соединяют и разделяют границы. Изменение границ есть преобразование структуры. Матрица преобразования путей содержит всю необходимую информацию об изменении структуры. Структура обладает свойствами двойственности, полноты самой по себе, при отсутствии метрики и потоков в элементах, т.е. какого - либо движения в системе. Это собственные свойства структуры пространства.

В 1973 году, когда я стал работать на кафедре кибернетики, Л.Т. Кузин принес пачку ксерокопий книги Г. Крона «Тензорный анализ сетей» и предложил перевести. При переводе нам, под руководством П.Г. Кузнецова, пришлось освоить новые понятия пространства-структуры. Кузину и Кузнецову стоило много сил и нервов убедить издательство в необходимости перевода книги 1939 года выпуска. Не помогли даже авторитетные рекомендации. Деле помогло лищь обнаружение второго издания книги 1965 года, точной копии с новым предисловием. Шесть лет

спустя перевод был издан, хотя до последнего приходилось вносить правки в понятия и терминологию этой новой науки о тензорах для инженерных структур.

Надо было понять, что означает простейшая сеть и связанная сеть, многомерные матрицы, компаунд - тензоры и мульти - тензоры. Как представить многомерную матрицу? Конструкции инженера имеют конечное число элементов, рассуждал Кузнецов. Значит можно записать квадратные матрицы в строку – получим третье измерение, затем эти строки записать в квадрат – получим четвертое измерение и т.д. Именно это и делает Крон в первой главе для организации многомерных матриц и действий между ними. Тогда можно обозначить одним символом целый блок данных и работать с ними, как с одним числом. У компаунд-тензоров в главе 9 каждая компонента сама есть тензор той же валентности. Проделав с ними все необходимые действия, можно снова вернуться к деталям, разделять компаунд-тензор на компоненты. А это и есть путь к иерархии данных и объектов, которые можно применять для организации систем управления.

Сунь-цзы сказал 2500 лет тому назад: «управлять массами – все равно, что управлять немногими: дело в частях и в числе». Это и есть операции со многими, обозначенными одним символом.

Для перехода между сетями Крон использовал матрицу преобразования токов, которая транспонирована относительно матрицы преобразования путей. Путями были контуры, в которых протекают токи. А напряжения – это разности потенциалов между двумя парами узлов. Для них координаты – пары узлов. Почему матрица преобразования напряжений ортогональна к матрице преобразования токов? Почему при расчете сети с источниками напряжения берется прямоугольная матрица преобразования токов, а при расчете сети с источниками тока берется прямоугольная матрица преобразования напряжений?

В чем отличие примитивной сети, контурной, узловой и ортогональной сети? Три уровня постулатов обобщения – переходы от чисел к матрицам, к тензорам, уравнениям поведения, которые одинаковы для всех видов соединения сетей. И почему должна быть постоянна мощность, при соединении ветвей, что необходимо для вывода тензорных формул преобразования величин при изменении структуры? Ведь на самом деле она не постоянна! Постулат об инварианте мощности, который не выполняется и прямоугольные матрицы преобразования, которые не имеют обратных матриц, были объектами жесткой критики. Постулатов и допущений здесь оказалось не меньше, чем в механике для непрерывного пространства.

Преобразование структуры обеспечивают матрице соединения С и А. У Крона они связывают базисные токи и напряжения в простейшей (примитивной) сети и соединенной сети. Мы рассчитываем параметры уравнений поведения процессов, а в этих уравнениях скрыта структура соединения ветвей. Особенно восхитило Кузнецова открытие Кроном важности свойств структуры: «…матрица преобразования сети С содержит неожиданно много информации о свойствах и поведении сети даже без установления каких-либо других тензоров, таких как вектор е или тензор z самой сети. … Основные характеристики, скелет динамической системы полностью содержатся в тензоре преобразования С. Другие тензоры составляют кровь и плоть системы, но основные качества системы они не определяют. Исключительность тензора преобразования С, его «аристократизм» в обществе тензоров ясно видны еще из того, что он даже не появляется ни в одном из уравнений поведения динамической системы. Он стоит особняком, в стороне от «плебейской», грубой работы вычислительных процедур».

Процессы, структура и двойственность.

Свойства процессов и структуры цепи описывают закон Ома и законы Кирхгофа. Процессы прохождения тока в цепи рассчитаем с помощью закона Ома. Свойства структуры определяют законы Кирхгофа, с помощью которых и строится матрица преобразования (токов или путей) одной цепи в другую цепь. Один закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах: сумма токов в узле равна нулю. Пара узлов задает разомкнутый путь. Независимые разомкнутые пути образуют базис в подпространстве сети. Токи входят в сеть извне в одном узле и уходят из сети в другом узле. Это воздействие. Откликом являются напряжения на ветвях. Это - открытая система.

Другой закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в контурах (замкнутых путях): сумма напряжений в контуре равна нулю. Независимые замкнутые пути образуют базис в подпространстве сети. Источники напряжения возникают, задаются в контуре, как электродвижущая сила. Это воздействие. Откликом являются токи в контурах, которые протекают в ветвях сети и не покидают ее. Это - замкнутая система.

Замкнутые и разомкнутые пути составляют полное пространство структуры сети. Изменение структуры сети состоит в том, что одни ветви соединяются, другие разъединяются. При этом узлы, границы ветвей, сливаются или разделяются. Одни пути замыкаются, другие размыкаются, при этом взаимно меняется размерность их подпространств, а полная размерность равна числу ветвей в сети. Сеть – network, а цепь, электрическая цепь – circuit. Сеть можно рассматривать как совокупность абстрактных ветвей, а цепь предполагает наличие сопротивлений, метрики, воздействий и откликов.

Оказалось, что сеть сама по себе обладает свойством двойственности. В том смысле, что сеть состоит из двух частей – данной сети с данной структурой, и сети с двойственной структурой, в которой каждому замкнутому пути данной сети соответствует разомкнутый путь, и наоборот. Сумма ветвей, сумма замкнутых путей и сумма разомкнутых путей в двух двойственных сетях постоянна. Но главное – есть инвариант двойственности.

Инвариант двойственности состоит в том, что в двух двойственных сетях при изменении структуры остается постоянной сумма их метрических тензоров, которая равна единичной матрице. Это собственное свойство пространства-структуры, не связанное с физикой процессов и потоков энергии. Этот инвариант выражается только через матрицы преобразования.

mCt (mC mCt)–1 mC + jAt (jA jAt)–1 jA = I

Если тензор соединения – «аристократ» в мире тензоров, по мнению Крона, то в двойственных сетях он и существует сам по себе, но управляет «плебейскими» потоками энергии.

В двойственных электрических цепях этому соответствует постоянство суммы их мощности при изменении структуры. Это закон сохранения потока энергии в замкнутой системе двух двойственных цепей. Мощность (поток энергии) при изменении структуры двух двойственных сетей не меняется, например, для источников напряжения сумма рассеиваемой мощности в данной цепи mPданная и в двойственной цепи mPдвойст постоянна, и равна мощности, рассеиваемой в сети из несоединенных между собой, свободных ветвей mP0.

mPданная + mPдвойст. = mP0

Таким образом, инвариант мощности Крона существует, но не для одной сети, а для двух двойственных сетей. Необходимость существования двойственной цепи для сохранения потока энергии указывает на возможность существовании двойственного пространства.

Ток измеряется в одной точке, напряжение измеряется как разность значений, измеренных в двух точках. Их произведение по размерности дает мощность, поток энергии. В других предметных областях также есть пары величин воздействия и отклика, которые по размерности дают мощность, поток энергии. В механике это сила и скорость, в гидравлике – давление и поток жидкости и т.д. Эти «кирпичики» потока энергии имеют разные физические размерности, например, измеряемые в одной точке («продольные», по терминологии Файрстоуна величины), такие как ток, поток жидкости и сила. Или измеряемые как разность значений, в двух точках (поперечные) величины, такие как, напряжение, давление и скорость. ЛТ- таблица позволяет их сравнить в соизмеримых величинах пространства и времени. Произведение этих разных по размерности «кирпичиков» всегда дает мощность.

Это является основой для выявления аналогий процессов, и моделирования одних систем другими системами. Например, можно использовать в качестве модели электрическую цепь. Однако, двойственная сеть с ее инвариантами более абстрактна и удобна в качестве модели.

Существует связь процессов в системе, их воздействий и откликов, и структуры системы. Если система открытая, т.е. потоки поступают в нее извне, то воздействием является продольная величина, а откликом – поперечная величина. Если система замкнутая, т.е. все потоки остаются в системе, то воздействием является поперечная величина, а откликом – продольная величина. Например, в цепи с источниками напряжения контурный метод расчета использует в качестве базиса замкнутые пути, а в цепи с источниками тока узловой метод использует в качестве базиса открытые пути, пары узлов.

Экономика и двойственные сети.

Как применить тензоры и сети для управления экономикой? Сеть, электрическая цепь – это техническая система с КПД меньше единицы. Экономика, как живая система, действует в режиме усиления мощности, т.е. с КПД больше единицы. Можно ли с помощью сети представить процессы производства, которые создают продукты с возрастающей энергетической стоимостью?

Оказывается, что можно. Для этого надо взять сеть, открытую и замкнутую одновременно, используя независимость и двойственность протекающих в них потоков.

Экономическая система – это производство (товаров, услуг, работ), товарные рынки, финансовая система, которая связывает производителя и потребителя. Финансовая система возникла из специализации и эквивалентного обмена продуктами. Рост производства связан с ростом сложности структуры хозяйственных связей. Спад производства связан с разрывом связей, деградацией структуры. Разделение СССР в 1991 году на 15 независимых подсистем с разрывом структуры хозяйственных связей, привело, по данным Росстата, к спаду промышленного производства к августу 1998 года в 2,5 раза.

Задача межотраслевого баланса в экономике состоит в расчете производства отраслей, обеспечивающих спрос, ресурсы, и поставки. Это необходимо для планирования и управления. Расчет баланса региона, страны требует времени, которое превышает плановый период, что затрудняет управление в режиме реального времени. Проблема больших данных была и до объявления курса на цифровую экономику. Ограничения по мощности ЭВМ сменились опережающим ростом объемов информации, что вызвано ростом специализации и сложности производства продукции высоких технологий.

Для решения этих проблем и нужно было создать сетевую модель межотраслевого баланса. Тогда можно использовать методы декомпозиции и расчета по частям. Это многократно снижает объемы и время вычислений, обеспечивая управление в режиме реального времени. Крон разработал метод исследования сложных систем по частям, названный диакоптика. Однако его алгоритмы не имели общности и применялись для моделирования и расчета физических и технических систем. Используя инвариант двойственности, удалось создать обобщенную диакоптику для расчета поведения систем при изменении структуры, включая разделение сетевой модели на части. Это позволило создать сетевую модель для экономической системы производства потоков продукции.

Как было сказано выше, электрическая цепь рассеивает энергию, не усиливая мощность. Экономическая система, как живая система, усиливает мощность, дает свободную энергию. Аналогией спроса (плана) является источник тока, который поступает из природы через узлы ресурса и покидает сеть производства при отправке готовой продукции конечному потребителю. Расчет такой узловой сети с разомкнутыми путями дает токи ветвях отраслей, ресурсов и поставок, которые не соответствуют потокам продуктов. Токи в замкнутых или разомкнутых путях сетевой модели не могут представить потоки продуктов.

Однако можно дополнить токи в разомкнутых путях токами в замкнутых путях, что и позволяет представить потоки продуктов. Для этого вводим источники ЭДС в контурах. Их величину определяют поставки между отраслями. Суммы двойственных контурных и узловых токов численно равны потокам продуктов в отраслях, поставках и ресурсах.

Расчет по частям такой сетевой модели ускоряет расчеты и позволяет решить для межотраслевого баланса проблему больших данных. Для расчета по частям сетевую модель делим на подсистемы. Их решения затем соединяем в решение всей системы. Полученный алгоритм обеспечивает многократное снижение объема вычислений, ускоряя плановые расчеты.

Применение двойственности позволяет представить процессы в живой системе экономики с помощью неживой, технической системы, электрической цепи – комбинацией контурных и узловых токов. Кроме того, топология цепи дает значения напряжений, которые имеют экономическую интерпретацию как финансовые воздействия. Напряжения на ветвях сети пропорциональны добавленной стоимости, а потенциалы узлов задают цены производителей.

Заключение или техническое задание на разработку.

Новую систему, которую надо изучить, моделируем как сеть, используя аналогии процессов и структуры. Можно исследовать модель методами тензорного анализа сетей, а результаты использовать для проектирования и управления исследуемой системы. Обобщенная система с процессами и структурой – это тензор, а системы разных предметных областей – ее проекции в системы координат. Таким образом, тензорный метод можно применять в разных областях, использовать ранее полученные результаты. Для многомерных систем надо применять модели в виде многомерных сетей и многомерных потоков, например, магнитного потока.

Тензорный метод на основе пространства-структуры может применяться для анализа и управления экономикой как крупномасштабной системой. Для управления системой производства потоков продукции может применяться сетевая модель в виде двойственной сети, соединяющей

потоки продуктов и потоки денег в энергетическом измерении. Для моделирования всей совокупности потоков в экономике необходимо применять многомерные сети.

Таким образом, тензорный анализ сетей Г. Крона является математическим средством решения задачи П.Г. Кузнецова. Сетевая модель потоков продуктов и алгоритм ее расчета по частям обеспечивают расчет задач баланса за время, необходимое для оперативного управления производством. Для полномасштабного моделирования социально - экономической системы надо:

* привести в соответствие напряжения сетевой модели межотраслевого баланса, и финансовые показатели производства;

* установить аналогии между сетью потоков денежных средств и величинами в двойственной сети, где токи представляют потоки денег, а напряжения представляют заказы на выпуск продуктов;

* многомерные сети (метод расчета которых не до конца ясен) с магнитными потоками могут стать моделью объединенной системы производства продуктов и рынков капитала, вложений в будущее производство;

* для моделирования экономической, как и любой живой системы, необходимо применять закон не только сохранения мощности, но и закон усиления мощности, когда система использует внешний поток энергии для развития.

Литература

1. Петров А. Е. Побиск Георгиевич Кузнецов и тензорный метод проектирования систем природы и общества. Электронное научное издание «Устойчивое инновационное развитие: проектирование и управление» www.rypravlenie.ru, том 10 № 2 (23), 2014, ст. 8. Выпуск подготовлен по итогам Международной научной конференции « Проблема устойчивого развития Человечества в системе «природа – общество – человек», посвящённой 90-летию выдающегося отечественного учёного П.Г. Кузнецова (29 мая 2014 г.). с. 121–133.

2. Крон Г. Тензорный анализ сетей: Пер. с англ. /Под ред. Л.Т.Кузина, П.Г. Кузнецова. М.: Сов. Радио, 1978. – 720 с.

3. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. – М.: Радио и связь, 1985. – 152 с.

4. Петров А.Е. Тензорный метод двойственных сетей. М.: ООО ЦИТиП, 2007. – 496 с. – ISBN 5-9751-0036-4. Дополненное интернет издание на портале Университета «Дубна». – 612 с. Режим доступа: http://www.uni-dubna.ru///images/data/gallery/70_9... , свободный, 2009.

5. Кузин Л.Т., Кузнецов П.Г., Петров А.Е. “Тензорный анализ сетей” Г. Крона и его роль в проектировании систем. В кн.: Г. Крон. Тензорный анализ сетей. М: Советское радио, 1978. – с. 691–698.

6. Кузнецов О.Л., Кузнецов П.Г., Большаков Б.Е. Система природа – общество – человек: Устойчивое развитие. – ГНЦ РФ ВНИИгеосистем; Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2000. – 392 с.

7. Firestone F.A. A new analogy between mechanical and electrical systems. – J. Acoustic Soc., 1933, v. 25, N 2, p. 39–47.

8. Сунь-цзы. Трактат о военном искусстве. В книге Н.И. Конрад. Избранные труды. Синология. М.: Наука, 1977. – 622 с.